Méthodes de Monte-Carlo et Processus Stochastiques du Linéaire au Non-Linéaire PDF

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique. Consultez la liste des tâches à accomplir en page de discussion. Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires méthodes de Monte-Carlo et Processus Stochastiques du Linéaire au Non-Linéaire PDF du temps. On peut également le voir comme la limite d’une marche aléatoire lorsque le pas de temps tend vers 0.


La méthode de Monte-Carlo, qui tire son nom du fameux casino à Monaco, s’est développée du manière spectaculaire depuis 60 ans : elle figure parmi les 10 algorithmes ayant eu le plus d’influence sur le développement et la pratique de la science et de l’ingénierie au XXe siècle. En fait, il n’existe pas une méthode de Monte-Carlo mais des méthodes de Monte-Carlo. La 1re partie de l’ouvrage dresse un panorama de l’existant, puis détaille les outils de bas pour la simulation de variables aléatoires, les résultats de convergence les plus courants et techniques d’accélération des méthodes de Monte-Carlo. Puis, la 2e partie aborde la simulation des équations différentielles stochastiques (processus à évolution linéaire dérivant du mouvement brownien), dont l application en biologie, chimie, économie, finance, géophysique, mécanique des fluides, neuroscience etc. sont importantes. L’objectif principal est le calcul d’espérance de leurs trajectoires. Cela donne, via les formules de Feynman-Kac, des solutions probabilistes aux équation aux dérivées partielles : ce lien remarquable permet de résoudre, par simulations Monte-Carlo, ces équations en toute dimension. Enfin, la 3e partie, la plus originale, traite des processus stochastique ayant des évolutions non-linéaires (modélisant des interactions variées), comme les équations du contrôle stochastique, les diffusions branchantes, les équations stochastique de McKean-Vlasov, avec des applications fondamentales en plein développement. Nous présentons notamment quelques idées importantes d’apprentissage statistiques, dont le couplage aux méthodes de Monte-Carlo (via les régressions empirique) conduit à des algorithmes des plus performants. Dans cet ouvrage, nous mettons en avant les grands principes de simulation efficace, avec une présentation exigeant le moins de préalables mathématiques. Le niveau prérequis à la lecture de ce cours est celui de Master 1, ou 2e année d’écoles d’ingénieurs. Cet ouvrage intéressera aussi des étudiants plus avancés ou des enseignants-chercheurs, souhaitant dégager l’essentiel des outils sophistiqués pour la simulation de processus stochastique linéaires et non-linéaires.

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Le processus d’Itō, d’après le nom de son inventeur Kiyoshi Itō, traite des opérations mathématiques dans un processus stochastique. Le plus important est l’intégrale stochastique d’Itō. Un point essentiel lié à cette intégrale est le lemme d’Itô. La somme comme le produit de variables aléatoires est définie dans la théorie des probabilités. La somme implique une convolution de la fonction de densité des probabilités, et la multiplication est une addition répétée. Une autre prescription notable pour définir une intégrale stochastique est la prescription de Stratonovich.

Cependant l’utilisation de la prescription de Stratonovich ne choisit pas une direction du temps privilégiée contrairement à celle d’Itô ce qui implique que les processus stochastiques définis par l’intégrale de Stratonovich satisfont des équations différentielles stochastiques bidimensionnelles invariantes par renversement du temps. Il faut noter cependant qu’il est possible de passer de l’une à l’autre des prescriptions en effectuant des changements de variables simples ce qui les rend équivalentes. Le choix de prescription est donc une question de convenance. Intégrer l’EDS, c’est trouver l’ensemble des processus vérifiant la diffusion entière. Les méthodes de Monte-Carlo reposent sur la Loi des grands nombres. De telles méthodes sont notamment utilisées en finance pour la valorisation d’options pour lesquelles il n’existe pas de formule fermée, mais uniquement des approximations numériques. Rechercher les pages comportant ce texte.

La dernière modification de cette page a été faite le 13 décembre 2018 à 03:44. Un article de Wikipédia, l’encyclopédie libre. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de diffusion. Le mouvement brownien, nommé ainsi en hommage au botaniste Robert Brown, décrit le mouvement d’une particule soumise à une infinité de chocs en des temps très courts, et ses trajectoires sont erratiques. Nous dirons alors que les accroissements sont indépendants.